1.∠ACB=120°以AC,BC边长向外作正三角形ACF,BCE,点P、M、N分别为AB、CF、CE的中点、求证PM=PN，∠MPN=60°
2.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F。求证：DP⊥EF
3.请看下面小明同学完成的一道证明题的思路：如图1，已知△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足是D，P是BC边上任意
4.如图，过平行四边形ABCD内任一点P作各边的平行线分别交AB、BC、CD、DA于E、F、G、H．求证：S平行四边形AB
∠ACB=120°以AC,BC边长向外作正三角形ACF,BCE,点P、M、N分别为AB、CF、CE的中点、求证PM=PN，∠MPN=60°
证明：（1）AC中点为D，BC中点为G，连接MD、NG
M为CF中点，D为AC中点，所以MD为△ACF中位线
MD=AF/2，且MD∥AF，∠MDC=∠FAC=60
P为AB中点，D为AC中点，所以PD为△ABC中位线
PD=BC/2，且PD∥BC，∠PDC+∠ACB=180
∠PDC=60
∠MDP=∠MDC+∠PDC=120
N为CE中点，G为BC中点，所以NG为△BCE中位线
NG=BE/2，且NG∥BE，∠NGC=∠EBC=60
P为AB中点，G为BC中点，所以PG为△ABC中位线
PG=AC/2，且PG∥AC，∠PGC+∠ACB=180
∠PGC=60
∠PGN=∠PGC+∠NGC=120
因为AC=AF，所以MD=PG
因为BC=BE，所以PD=NG
且∠MDP=∠PGN=120
所以△MDP≌△PGN，PM=PN
（2）PG∥AC，PD∥BC
所以四边形CDPG为平行四边形，∠DPG=∠DCG=120
由△MDP≌△PGN可得，∠GPN=∠DMP
∠MPN=∠DPG-（∠DPM+∠GPN）=120-（∠DPM+∠DMP）
因为∠DPM+∠DMP=180-∠MDP=180-120=60
所以∠MPN=120-60=60
已知正方形ABCD，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F。求证：DP⊥EF
证明:延长EP交BC于G,延长PD,交EF于H
∵PGCF是正方形
∴PG=PF
在Rt△PDG和Rt△PEF中
PE=EA=PG
PG=PF(已证) ∴Rt△PDG≌Rt△PEF∴∠DPG=∠EFP
∵∠DPG=∠EPH(对顶角)∴∠EPH=∠EFP
∵∠EFP+∠FEP=90°∴∠EPH+∠FEP=90°
∴PD⊥EF
请看下面小明同学完成的一道证明题的思路：如图1，已知△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足是D，P是BC边上任意
结论：PE-PF=CD．（2分）
证明：
过点C作CG⊥PE于G，
∵PE⊥AB，CD⊥AB，
∴∠CDE=∠DEG=∠EGC=90°．
∴四边形CGED为矩形．（3分）
∴CD=GE，GC∥AB．
∴∠GCP=∠B．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB．
∴∠FCP=∠ACB=∠B=∠GCP．
在△PFC和△PGC中，
|
∴△PFC≌△PGC（AAS）．（5分）
∴PF=PG．
∴PE-PF=PE-PG=GE=CD．（6分）
如图，过平行四边形ABCD内任一点P作各边的平行线分别交AB、BC、CD、DA于E、F、G、H．求证：S平行四边形AB
解答：证明：S△AFG=S平行四边形-（S△AGD+S△GFC+S△ABF），
=S平行四边形-
| 1 |
| 2 |
=S平行四边形ABCD?
| 1 |
| 2 |
=S平行四边形ABCD?
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
∴S平行四边形ABCD-S平行四边形AEPH=2S△AFG．
